《高等数学A》教学大纲

来源:Betway必威 时间:2022-06-17 点击数:

高等数学A》教学大纲

课程名称(汉):《高等数学A2-12-2

课程名称(英):Advanced Mathematics A2-12-2

课程代码:112160012112260012  

课程类型:学科基础平台大类基础课程模块

适用对象:会计、经管、理工类专业,大学一年级本科生

学时/学分:144学时/9学分

先修课程初等数学

方案版本2022

一、课程简介

《高等数学A课程的核心是微积分课程,而后者是现代科学的理论基础。当前,数学正日益成为自然科学和社会科学研究中常用的重要手段和工具。同时,高等数学课程在各专业的课程中应用非常广泛。因而,高等数学课程是Betway必威各专业学生的一门重要的基础理论课程。该课程是培养学生理性思维的重要载体,是训练学生熟练掌握数学工具的主要手段。因此,学好这门课程对今后的发展是至关重要的。

二、课程的教学目标

通过本课程的学习,一方面要使学生获得相应的基本概念、基本理论、基本运算技能及其在几何、物理中的应用,为学习后续课程和进一步深造打好理论基础(如考研或就业等);另一方面通过各个教学环节,逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,并能运用所学数学知识去分析和解决问题的能力。

三、课程目标对××专业毕业要求的支撑关系

毕业要求

毕业要求指标点(非认证专业可以省略本项内容)

课程目标

支撑权重














四、教学内容及其基本要求

序号

教学内容

教学要求(包括重点难点、教学方法、学生掌握的程度等)

对应课程目标

1


函数与极限

理解函数的概念,掌握函数的表示方法。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性;理解复合函数的概念,了解反函数及隐函数的概念;掌握基本初等函数的性质及其图形;理解极限概念,理解函数左、右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系;掌握极限的性质及四则运算法则;掌握利用两个重要极限求极限的方法;理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念,会用等价无穷小求极限;理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型;了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和介值定理),并会应用这些性质。

教学重点:极限的概念及计算

教学难点:函数连续性的理解和判

教学方法:讲授教学法启发式教学法;案例分析教学法;习题讲解式

使学生获得函数的建立与性质的方法掌握数列极限与函数极限的概念性质及计算;理解连续的概念与性质

2

导数与微分

理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系;掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式;了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数;会求分段函数在分段点的一阶导数;会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数;了解微分的定义,会求函数的微分;了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性;了解微分在近似计算中的应用。

教学重点:求导的四则运算法则,参数方程确定的函数求导。

教学难点:隐函数求导,微分的应用。

教学方法:引导式教学法;案例分析教学法;讨论式教学法;习题讲解式

使学生获得导数与微分的求解方法

3

微分中值定理与导数的应用

理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理;掌握用洛必达法则求各种未定式极限的方法;理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用;会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点,能求水平、铅直和斜渐近线,能描绘函数的图形。

教学重点:洛必达法则,导数的几何应用。

教学难点:微分中值定理的应用,用导数研究函数的形态。

教学方法:数研究函数的形态;讲授教学法;案例分析教学法;习题讲解式

使学生获得微分中值定理及应用的技巧和方法。

4

不定积分学

理解原函数和不定积分的概念;掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质;熟练掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。

教学重点:基本积分表,不定积分的换元法和分部积分法。

教学难点:第二类换元法,有理函数的积分。

教学方法:讲授教学法习题讲解式

使学生获得不定积分的求解方法。

5

定积分

理解定积分的概念和定积分的几何意义,理解定积分中值定理;掌握定积分的七条性质;掌握定积分的换元积分法与分部积分法;理解变上限积分,会求变上限积分函数的导数,熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式;了解广义积分的概念并会计算简单的广义积分。

教学重点:定积分的计算。

教学难点:变限积分、反常积分。

教学方法:讲授教学法案例分析教学法

习题讲解式

使学生获得定积分的求解方法。

6

定积分的应用

掌握定积分的元素法;掌握用定积分元素法计算一些几何量与物理量(平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体体积、平行截面面积已知立体体积、变力做功、引力、压力等)

教学重点:定积分的几何应用。

教学难点:定积分的元素法。

教学方法:引导式教学法案例分析教学法

使学生获得定积分应用的技巧和方法

7

微分方程

了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念;掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法;会解齐次方程,会用简单的变量代换解某些微分方程;会用降阶法解微分方程;理解线性微分方程解的性质及解的结构定理; 掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法; 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

教学重点:可分离变量的微分方程,一阶线性微分方程,齐次方程,二阶常系数齐次线性微分方程。

教学难点:可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程。

教学方法:讲授教学法习题讲解式

使学生获得求解常微分方程的技巧和方法。

8

向量代数与空间解析几何

理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示; 掌握向量运算(线性运算、数量积、向量积),了解两个向量垂直、平行条件;掌握单位向量、方向余弦、向量坐标表达式,以及用坐标表达式进行向量运算的方法;掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题;理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;了解空间曲线的参数方程和一般方程;了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。

教学重点:向量的运算,平面和直线的方程求解。

教学难点:曲面与曲线方程。

教学方法:讲授教学法习题讲解式

使学生掌握向量的运算和空间直线、曲线、平面及曲面的方程。

9

多元函数微分法及其应用

理解多元函数的概念;了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质;理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件,以及全微分在近似计算中的应用;掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法;会求隐函数的偏导数;理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

教学重点:偏导数,全微分的求解,复合函数。

教学难点:隐函数的求导,多元函数微分学的应用。

教学方法:讲授教学法案例分析教学法习题讲解式

使学生获得多元函数微分学及其应用的技巧和方法。

10

重积分

理解二重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理;掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法。

教学重点:二重积分的计算。

教学难点:二重积分的应用。

教学方法:讲授教学法习题讲解式

使学生获得重积分的求解方法。

11

无穷级数

理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;掌握几何级数与p级数的收敛性;会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法,掌握正项级数的比值审敛法;会用交错级数的莱布尼茨定理;了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,及之间的关系;了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法;了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和;了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件;掌握几个常用初等函数的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

教学重点:常数项级数审敛法的判定,幂级数的收敛性及幂级数求和。

教学难点:函数展开成泰勒级数。

教学方法:讲授教学法习题讲解式

使学生获得无穷级数敛散性的判定及其求和的技巧和方法。

五、各教学环节及学时分配

知识模块

教学内容

教学环节及学时

习题课

讨论课

实验(实践)

合计

第一章函数与极限

1.1 映射与函数

2




2

1.2 数列的极限与性质

2




2

1.3 函数的极限与性质

2




2

1.4 无穷小与无穷大

2




2

1.5 极限运算法则

2




2

1.6 极限存在准则 两个重要极限

2




2

第一章习题课(1)


2



2

1.7 无穷小的比较

1.8 函数的连续性与间断点

2




2

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

2




2

1.10闭区间上连续函数的性质

2




2

第一章习题课(2)


2



2

第二章导数与微分

2.1导数的概念

2




2

2.2 函数的求导法则

2




2

2.3高阶导数

2




2

2.4隐函数及由参数方程所确定函数的导数 相关变化率

2




2

2.5 函数的微分

2




2

第二章习题课


2



2

第三章微分中值定理与导数的应用

3.1 罗尔定理 拉格朗日中值定理

2




2

3.2 洛必达法则

3




3

3.3泰勒公式(不证明)

1




1

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

2




2

3.5 函数的极值与最大值最小值

2




2

3.6函数图形的描绘(介绍)

2




2

第三章习题课


2



2

第四章不定积分


4.1 不定积分的概念与性质

2




2

4.2 换元积分法

4




4

4.3 分部积分法

2




2

第四章习题课


2



2

第五章定积分


5.1 定积分的概念与性质

2




2

5.2微积分基本公式

2




2

5.3 定积分的换元法与分部积分法

2




2

5.4 反常积分

2




2

第五章习题课


2



2

总复习

(上册)



2



2

第六章定积分的应用

6.1 元素法;第二节几何应用(面积)

2




2

6.2 几何应用(体积、弧长)

2




2

第六章习题课


2



2

第七章微分方程

7.1基本概念;

7.2 分离变量法

2




2

7.3齐次方程;7.4 一阶线性微分方程

2




2

7.5 可降阶的高阶微分方程

2




2

第七章习题课()


2



2

7.6 高阶线性微分方程;

2




2

7.7常系数齐次线性微分方程

2




2

7.8常系数非齐次线性微分方程

2




2

第七章习题课()


2



2

第八章空间解析几何与向量代数


8.1 向量及其线性运算

2




2

8.2数量积 向量积

2




2

8.3平面及其方程

2




2

第八章习题课()


2



2

8.4空间直线及其方程

2




2

8.5曲面及其方程

2




2

8.6 空间曲线及其方程

2




2

第八章习题课()


2



2

第九章多元函数微分法及其应用


9.1多元函数的基本概念

2




2

9.2偏导数

2




2

9.3全微分

2




2

第九章习题课()


2



2

9.4多元复合函数求导法则

2




2

9.5隐函数的求导公式

2




2

9.8多元函数的极值及其求法

2




2

第九章习题课()


2



2

第十章重积分

10.1二重积分的概念与性质

2




2

10.2二重积分的计算法

4




4

第十章习题课


2



2

第十二章无穷级数

12.1常数项级数的概念与性质

2




2

12.1常数项级数的审敛法

2




2

12.3幂级数

2




2

12.4函数展开成幂级数

2




2

第十二章习题课


2



2

总复习

(下册)



2



2

合计

144

六、成绩考核及基本要求

考核

环节

建议分值

考核/评价细则

对应课程

目标

平时成绩

30%

平时成绩包括出勤、作业和课堂表现。其中出勤占总成绩的10%,作业占总成绩的15%,课堂表现占总成绩的5%

提高学生的思想道德素质,具有良好的职业道德、自我责任感,以及明确的人生观和价值观。

期末成绩

70%

期末考试(闭卷)占总成绩的70%,课程总成绩按百分制记分,60分为及格。

全面检查学生对本学期所学知识的理解、掌握、运用及计算能力,提高数学水平。

七、教材与主要教学参考资源

(一)教材

《高等数学》(第七版),同济大学数学系主编,高等教育出版社,2014

(二)主要教学参考资源

1.《高等数学典型应用实例与模型》,王宪杰,侯仁民,赵旭强编著,科学出版社,2005

2.《高等数学》,陈庆华编著,高等教育出版社,1999

3.《大学数学微积分》,萧树铁等编著,高等教育出版社,2003

4.《大学数学教程微积分》,刘建亚编著,高等教育出版社,2003

5.《高等数学》,张荫南、童裕孙等编著,高等教育出版社,2000




制定者:安徽燕

审核者:赵斐

批准者:高谦

编写时间:2022/6/16